Question

已知两点F₁(-1,0)及F₂(1,0),点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上,且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列.

（1）求椭圆C的方程;
（2）如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F₁M⊥l, F₂N⊥l.求四边形F₁MNF₂面积S的最大值.

Answer 1

（1）
（2）

试题分析：(1)依题意,设椭圆的方程为.
构成等差数列,
, .
又,.
椭圆的方程为   
(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中,
得 
由直线与椭圆仅有一个公共点知,,

化简得: 
设,, 
(法一)当时,设直线的倾斜角为,
则,
,      , 
,当时,,,.
当时,四边形是矩形, 
所以四边形面积的最大值为 
(法二), 
. 
. 
四边形的面积,                        
                                                   
当且仅当时,,故. 
所以四边形的面积的最大值为 
点评：主要是考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。