Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.
(I)求椭圆的方程;
(II) 为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆与点，设，求实数的值.

Answer 1

(I)         (Ⅱ)  或

(I)设椭圆的方程为,
由题意知，解得
因此椭圆的方程为
(II)（1）当两点关于轴对称时，
设直线的方程为，由题意知或，
将代入椭圆方程得.
所以
解得或.
又，
因为为椭圆上一点，所以，或
又因为所以或
（2）当两点关于轴不对称时，
设直线的方程为，将其代入椭圆方程得
.
设，由判别式可得，
此时

所以，
因为点到直线的距离为，
所以

令，则
解得或，即或.
又，
因为为椭圆上一点，所以，
即，所以或
又因为所以或
经检验，适合题意.
综上可知或
【考点定位】本题基于椭圆问题综合考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.第一问通过椭圆的性质确定其方程，第二问根据两点关于轴的对称关系进行分类讨论，分别设出直线的方程，通过联立、判断、消元等一系列运算“动作”达成目标.本题极易简单考虑设直线的形式而忽略斜率不存在的情况造成漏解.在联立方程得到后，后续运算会多次出现这一式子，换元简化运算不失为一种好方法，令，搭建了与的桥梁，使坐标的代入运算更为顺畅，使“化繁为简”这一常用原则得以完美呈现.