Question

德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f（x）＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：

①f（f（x））＝0；

②函数f（x）是偶函数；

③f（x）是周期函数；

④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形；

⑤存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为直角三角形.

其中真命题的个数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

 

Answer 1

D

【解析】

试题分析：①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0

∴当x为有理数时，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1

即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①不正确；

②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意x∈R，都有f（－x）＝－f（x），故②正确；

③任取非零有理数T，若x是有理数，则x＋T也是有理数；

若x是无理数，则x＋T也是无理数

∴根据函数的表达式，f（x＋T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确；

④取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0

∴A（，0），B（0，1），C（－，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

⑤取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0

∴A（，0），B（0，1），C（－，0），恰好△ABC为直角三角形，故⑤正确．

考点：分段函数的综合应用