Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$lg（kx），g（x）=lg（x+1）．
（1）求f（x）-g（x）的定义域．
（2）若方程f（x）=g（x）有且仅有一个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得kx＞0，且x+1＞0，对k讨论，分k＞0，k＜0，即可得到所求函数的定义域；
（2）由参数分离可得kx=（x+1）²＞0，即k-2=x+$\frac{1}{x}$，对k讨论，结合对号函数的单调性，即可得到k的范围．

解答 解：（1）f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$lg（kx）-lg（x+1），
可得kx＞0，且x+1＞0，
当k＞0时，可得x＞0；当k＜0，可得-1＜x＜0．
综上可得k＞0时，函数的定义域为（0，+∞）；
当k＜0时，函数的定义域为（-1，0）；
（2）f（x）=g（x）即为$\frac{1}{2}$lg（kx）=lg（x+1），
即有kx=（x+1）²＞0，
当k＞0时，x＞0，可得k-2=x+$\frac{1}{x}$，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时，取得最小值2，
且（0，1）递减，（1，+∞）递增，
故方程有且只有一个根，即为x=1，解得k=4；
当当k＜0时，-1＜x＜0，可得k-2=x+$\frac{1}{x}$，
由x+$\frac{1}{x}$在（-1，0）递减，可得x+$\frac{1}{x}$＜-2，
故方程有且只有一个根，即有k-2＜-2，解得k＜0．
综上可得，k的范围是（-∞，0）∪{4}．

点评 本题考查对数函数的定义域和运算性质，考查分类讨论的思想方法，注意运用分离参数和对号函数的单调性，属于中档题．