Question

11．（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，问能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）若（x⁶+3）（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的展开式中含x¹⁰项的系数为43，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）可用分步原理求解，第一步排首位，从非零数字中选一个，有${A}_{5}^{1}$种不同方法；
第二步排后两位，从余下的5个数字中选2个排列即可；
（2）化（x⁶+3）（x²+$\frac{a}{x}$）⁵=x⁶${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$+3${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$，
利用${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$展开式的通项公式求出x¹⁰的系数和x⁴的系数，
即可得出所求展开式中含x¹⁰项的系数，列方程求出a的值．

解答 解：（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，
能组成没有重复数字的三位数的个数是
${A}_{5}^{1}$•${A}_{5}^{2}$=5×5×4=100；
（2）（x⁶+3）（x²+$\frac{a}{x}$）⁵=x⁶${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$+3${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$，
且二项式${{（x}^{2}+\frac{a}{x}）}^{5}$展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•x^2（5-r）•${（\frac{a}{x}）}^{r}$=${C}_{5}^{r}$•x^10-3r•a^r；
令10-3r=10，解得r=0，
∴其展开式中x¹⁰的系数为${C}_{5}^{0}$•a⁰=1；
令10-3r=4，解得r=2，
∴其展开式中x⁴的系数为${C}_{5}^{2}$•a²=10a²；
故所求展开式中含x¹⁰项的系数为
10a²+3×1=43，
解得a=±2．

点评 本题考查了排列数的计算问题，也考查了二项式定理的应用问题，是综合题．