Question

1．某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：

时间	第4天	第32天	第60天	第90天
价格（千元）	23	30	22	7

（Ⅰ）写出价格f（x）关于时间x的函数关系式（x表示投放市场的第x天，x∈N^*）；
（Ⅱ）销售量g（x）与时间x的函数关系式为$g（x）=-\frac{1}{3}x+\frac{109}{3}（{1≤x≤100，x∈{N^*}}）$，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）价格直线上升，直线下降，说明价格函数f（x）是一次函数，由表中对应关系用待定系数法易求f（x）的表达式；
（Ⅱ）由销售额=销售量×时间，得日销售额函数S（x）的解析式，从而求出S（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意知，当1≤x≤40时，一次函数y=ax+b过点A（4，23），b（32，20），
代入函数求得a=$\frac{1}{4}$，b=22；      …（2分）
当40＜x≤100时，一次函数y=ax+b过点C（60，22），B（90，7），
代入函数求得a=-$\frac{1}{2}$，b=52     …（4分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x+22，1≤x≤40，x∈{N}_{+}}\\{-\frac{1}{2}x+52，40＜x≤100，x∈{N}_{+}}\end{array}\right.$  …（5分）
（Ⅱ）设日销售额为S（x），则当1≤x≤40时，S（x）=f（x）g（x）=-$\frac{1}{12}$（x²-21x-9592），
当x=10或11时，[S（x）]_max=808.5（千元），…（8分）
当40＜x≤100时，S（x）=f（x）g（x）=-$\frac{1}{6}（{x}^{2}-213x-11336）$，
当x=41时，[S（x）]_max=714（千元）       …（10分）
∵714＜808.5，
∴日销售额最高是在第10天或第11天，最高值为808.5千元．…（12分）

点评 本题考查函数模型的构建，考查求分段函数的解析式和最大值的应用题，考查求二次函数在闭区间上的最大值，属于中档题．