Question

14．已知x，y满足：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，那么
（1）求函数x²+xy+y²的最值；
（2）求函数3x+4y的最值．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的参数方程，运用二倍角公式和辅助角公式，化简整理，再由正弦函数的值域即可得到最值；
（2）运用辅助角公式，可得3x+4y=12cosα+12sinα=12$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），再由正弦函数的值域即可得到最值．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1可得
x=4cosα，y=3sinα（0≤α＜2π），
即有x²+xy+y²=16cos²α+12sinαcosα+9sin²α
=8（1+cos2α）+6sin2α+$\frac{9}{2}$（1-cos2α）
=6sin2α+$\frac{7}{2}$cos2α+$\frac{25}{2}$
=$\frac{\sqrt{193}}{2}$sin（2α+θ）+$\frac{25}{2}$，
当sin（2α+θ）=-1时，取得最小值$\frac{25-\sqrt{193}}{2}$；
sin（2α+θ）=1时，取得最大值$\frac{25+\sqrt{193}}{2}$；
（2）由（1）可得3x+4y=12cosα+12sinα
=12$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα）
=12$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
当sin（α+$\frac{π}{4}$）=1即α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k为整数时，取得最大值12$\sqrt{2}$；
当sin（α+$\frac{π}{4}$）=-1即α=2kπ+$\frac{5π}{4}$，k为整数时时，取得最小值-12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，注意化为参数方程，考查三角函数的辅助角公式和正弦函数的值域，属于中档题．