Question

【题目】设是集合中具有如下性质的子集的个数：每个子集至少含有2个元素， 且每个子集中任意2个元素之差（绝对值）大于1 .求.

Answer 1

【答案】133

【解析】

解法1：考虑的递推关系，将集合中满足条件的子集分成两类：

第一类含有.这类子集除有中满足条件的个子集并上元素外， 还有个双元素子集，共个.

第二类不含有.这类子集可由中满足条件的子集给出， 有个.

由此， 得到递推关系.

易知.从而，，.

解法2 ：当时，子集的元素可取 2个、3个、4个、5个.

当所求的子集只有 2个元素时， 记为，且，则有，

，.

相加，得.

这表明，一组（）对应着方程的一个正整数解：反之， 方程的一个正整数解又对应着一组（）.

因方程有个正整数解， 故有个满足条件的二元子集.

同理， 有个三元子集，个四元子集，个五元子集.

因此，.