Question

【题目】对于函数，若存在，使成立， 则称点为函数的不动点.

（1）若函数有不动点和， 求的值 ；

（2）若对于任意实数，函数总有 2 个相异的不动点 ， 求实数的取值范围；

（3）若定义在实数集 R 上的奇函数存在（有限的）个不动点 ， 求证：必为奇数.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)见解析

【解析】

（1）由不动点定义有， 即. ①

将代入式①得.

将代入式①得.解得.

（2）由条件知， 对任意实数， 方程 ①总有两个相异的实数根， 所以， 恒成立，即对任何实数，恒成立.

从而， ， 即.解得.

（3）显然点是奇函数在 R 上的一个不动点.若有异于的不动点， 则.

又，

则也是在 R 上的一个不动点.

所以， 的有限个不动点除原点外 ， 都是成对出现的， 有 个.则 在 R上共有个不动点.因此，为奇数.