Question

【题目】若函数在其定义域内给定区间上存在实数.满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.

（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由

（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围.

（3）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对.

Answer 1

【答案】（1）是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据条件可知，故满足；

（2）由条件可知，

则有，解出，再结合范围可求出范围；

（3）根据条件表示出（1），化简整理可得，结合的范围可求出的范围．

（1）由题意可知，存在成立，

则是区间上的“平均值函数”；

（2）由题意知存在，，知，即，

则，因为，所以，

而在有解，不妨令，

解得或，则，解得；

（3）由题意的，则，且，

由题意可知，即，所以，

因为，所以，则，又因为，则，或，则当时，；当时，成立，

所以或是满足条件的实数对.