Question

在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 且
（Ⅰ）求角B的大小及y=sin²A+sin²C的取值范围；
（Ⅱ）若b=，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由两向量垂直时数量积为0，根据两向量的坐标列出关系式，然后利用余弦定理表示出cosB和cosC，代入表示出的关系式中化简，得到a²+c²-b²=-ac，代入表示出的cosB中，求出cosB的值，把y=sin²A+sin²C的两项利用二倍角的余弦函数公式化简，然后根据三角形的内角和定理及B的度数，用A表示出C，由A的范围，求出这个角的范围根据正弦函数的定义域与值域得到y的范围；
（Ⅱ）利用余弦定理的得到b²=a²+c²-2accosB，根据完全平方公式化简后，将b，a+c及cosB的值代入，求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：（Ⅰ）∵已知 且，
∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
根据余弦定理得：cosB=，cosC=，
代入上式整理得：a²+c²-b²=-ac，
∴cosB===-，
∵角B为三角形的内角，∴B=；
由题知，y=sin²A+sin²C==1-（cos2A+cos2C）．
由A+C=，得C=-A，
∵cos2A+cos2C=cos2A+cos（-2A）=cos2A+sin2A=sin（2A+），
由于0＜A＜，得到＜2A+＜，
∴＜sin（2A+）≤1，即-≤-sin（2A+）＜-，
∴≤1-sin（2A+）＜，
则y的取值范围是[，]；
（2）∵b=，a+c=4，B=π，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
∴13=16-2ac（1-），
∴ac=3，
则S_△ABC=acsinB=．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及到的知识有：平面向量的数量积运算法则，余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．