Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA1=2

3

，D、E分别为AA₁、BC₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱锥C-BC₁D的体积．

Answer 1

分析：（I）取BC的中点F，连结AF，可得AF∥DE，可证AF⊥平面BB₁C₁C，从而证DE⊥平面BB₁C₁C．
（II）由（Ⅰ）知，DE是三棱锥C-BC₁D底面BCC₁上的高，求出AF即是DE的大小，求出S△BCC1，计算出三棱锥C-BC₁D的体积．

解答：解：（I）证明：如图
取BC，B₁C₁的中点F、G，连结FG、AF，∴AF⊥BC，
又AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁
∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AF；
B₁B∩BC=B，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，
又AD∥EF，且AD=EF=

1

2

AA₁，∴DE∥AF
∴DE⊥平面BB₁C₁C．
（II）由（Ⅰ）知，DE⊥平面BB₁C₁C，∴DE是三棱锥C-BC₁D底面BCC₁上的高，
又DE∥AF，且DE=AF=

3

2

AB=

3

2

×2=

3

，
S△BCC1=

1

2

×BC×CC₁=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
∴三棱锥C-BC₁D的体积为：
V三棱锥C-BC1C=

1

3

×S_△ABC×DE=

1

3

×2

3

×

3

=2．

点评：本题考查了空间中的直线与平面垂直的判定与三棱锥体积的计算问题，是中档题．