题目内容

下面四个命题：
①函数y=sin|x|的最小正周期为π；
②在△ABC中，若
AB
•
BC
＞0，则△ABC一定是钝角三角形；
③函数y=2+loga（x-2）（a＞0且a≠1）的图象必经过点（3，2）；
④y=cosx-sinx的图象向左平移
π
4
个单位，所得图象关于y轴对称；
⑤若命题“?x∈R，x2+x+a＜0”是假命题，则实数a的取值范围为[
1
4
，+∞)；
其中所有正确命题的序号是
②③⑤
②③⑤
．
分析：根据正弦函数的图象与性质，通过举反例得到①不正确；根据向量数量积的性质，得到②正确；根据对数函数的图象特征，结合函数图象平移的规律，得到③正确；用辅助角公式化简，结合正余弦函数的奇偶性，得到④不正确；根据一元二次不等式解集的结论，可得⑤正确．由此得到正确答案．
解答：解：对于①，因为x＞0时，sin|x|=sinx，此时不满足f（x+π）≠f（x），故①是假命题；
对于②，因为向量
AB
、
BC
的夹角是角B的补角，所以
AB
•
BC
＞0时，π-B是锐角，
故B为钝角，△ABC是钝角三角形，故②是真命题；
对于③，因为y=logax图象经过点（1，0），而函数y=2+loga（x-2）图象是由y=logax右移2个单位，再上移2个单位而得，故y=2+loga（x-2）图象必经过点（3，2），因此③是真命题；
对于④，y=cosx-sinx=
2
cos（x+
π
4
），所以y=cosx-sinx的图象向左平移
π
4
个单位，得到的解析式为y=
2
cos（x+
π
2
）=-
2
sinx，图象不关于y轴对称，故④是假命题；
对于⑤，命题“?x∈R，x2+x+a＜0”是假命题，说明x2+x+a的最小值a-
1
4
≥0，可得a≥
1
4
，因此⑤是真命题
综上所述，正确命题的序号为：②③⑤
故答案为：②③⑤
点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的周期性、三角函数的奇偶性和向量数量积的性质等知识，属于基础题．准确理解相关的概念对各个选项加以正确判断，是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
下面四个命题：
①函数y=loga（x-a）+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（3，2）；
②y=cosx-sinx的图象向左平移
π
4
个单位，所得图象关于y轴对称；
③若命题“?x∈R，x2+x+a＜0”是假命题，则实数a的取值范围为[
1
4
，+∞)；
④若0＜a＜b，且a+b=1，则log2a+log2b＜-2．其中所有正确命题的序号是
 
．
已知函数f（x）=sin（2x+
π
2
），给出下面四个命题：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②函数f（x）是偶函数；
③函数f（x）的图象关于直线x=
π
4
对称；
④函数f（x）在区间[0，
π
2
]上是增函数，
其中错误命题的序号是
③④
③④
．
（2011•广州模拟）已知函数f(x)=sin(2x+
3π
2
 )(x∈R)，给出下面四个命题：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②函数f（x）是偶函数；
③函数f（x）的图象关于直线x=
π
4
对称；
④函数f（x）在区间[0，
π
2
]上是增函数，
其中正确命题的个数是（　　）
（2012•临沂二模）下面四个命题：
①函数y=loga（x+1）+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（0，1）；
②已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx≤1；
③过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为3x+2y-1=0；
④在区间（-2，2）上随机抽取一个数x，则ex＞1的概率为
13
．
其中所有正确命题的序号是：
①③
①③
．

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