Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：令与双曲线

x2

25

-

y2

4

=1相切的直线为x-y+b=0，则双曲线上点到直线l：x-y-3=0的距离最短等价于切线到直线直线l：x-y-3=0的距离，由此能求出结果．

解答： 解：令与双曲线

x2

25

-

y2

4

=1相切的直线为x-y+b=0，
则双曲线上点到直线l：x-y-3=0的距离最短等价于切线到直线直线l：x-y-3=0的距离，
联立

x2 25 - y2 4 =1 x-y+b=0

，得21x²+50bx+25b²+100=0，
△=2500b²-84（25b²+100）=0，解得b²=21，
∴b=

21

（舍）或b=-

21

，
把y=x-

21

代入

x2

25

-

y2

4

=1，
解得x=

25 21

21

，y=

4 21

21

，
∴双曲线

x2

25

-

y2

4

=1上的点（

25 21

21

，

4 21

21

）到直线x-y-3=0的距离最短，
最短距离为d=

|-3+ 21 |

2

=

42 -3 2

2

．

点评：本题考查双曲线上到直线的距离对短的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．