Question

已知函数.

（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若f（x）在[1，＋∞）内为单调增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）对于，求证：.

 

Answer 1

（1）极小值为0，无极大值；（2）；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）直接运用导函数求出函数的极值；（2）f（x）在[1，＋∞）内为单调增函数，等价于f '（x）的值在[1，＋∞）上非负恒成立；（3）借助（1）所得结论，将x替换为一系列n的表达式后求和，并结合适当的放缩可得结论.

试题解析：（Ⅰ）

当时，；当时，

∴；无极大值

（Ⅱ）

∵在内为单调增函数

∴即关于的不等式在时恒成立

①当即时，即

∴

②当即时，即

∴

由①②可知：实数的取值范围是

（Ⅲ）由（Ⅰ）知在时恒成立

∴

令，则即

∴

…………………

∴ 即

考点：导函数，单调性，极值，不等式恒成立，放缩法证明不等式