Question

设函数，、是关于的方程的两根，且，则下列说法正确的是 （请将你认为正确的序号都填上）.

①的取值范围是；

②；

③随的增大而减小；

④.

 

Answer 1

②③④

【解析】试题分析：y＝kx－lnx的零点，就是kx＝lnx的根

记f（x）＝kx，g（x）＝lnx，它们的图象如图所示

当他们有两个公共点时，必有k＞0，且0＜x1＜x2.

y'＝k－其中k＞0，x＞0

可知当0＜x＜时，y'＜0，而x＞时，y'＞0

所以y＝kx－lnx在x＝处取得极小值ymin＝1－ln

要使得y有两个零点，必有1－ln＜0，解得0＜k＜，

此时，y有两个零点，于是①错误

当k＝时，函数y只有一个零点x＝e

于是当函数有两个零点时，两个零点必定在e的异侧

即x1＜e，x2＞e，而x1＞1，故x1x2＞e，②正确；

当k由小变大时，x1逐渐增大，而x2逐渐减小，故逐渐减小，③正确

记h（x）＝，表示g（x）＝lnx上的动点（x，lnx）与定点（1，0）连线的斜率

由于g（x）＝lnx是凸函数，于是h（x）是减函数，④正确

（④也可以用h（x）的导函数证明）

正确答案为②③④.

考点：函数与方程的综合问题