题目内容
【题目】一青蛙从点
开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是
，（如图所示，坐标以已知条件为准），
表示青蛙从点
到点
所经过的路程．
（1）若点为抛物线
（
）准线上一点，点
均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明
．
（2）若点
要么落在
所表示的曲线上，要么落在
所表示的曲线上，并且
,试写出
（不需证明）；
（3）若点要么落在
所表示的曲线上，要么落在
所表示的曲线上，并且
，求
的表达式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
．
【解析】
试题分析：（1）直接借助题设求解即可获证；（2）运用题设条件和极限思想表示出来再求解即可；（3）运用题设中提供的信息分类进行求解．
试题解析：（1）设
，由于青蛙依次向右向上跳动，
所以
，
，由抛物线定义知：
．
（2）依题意，
，
，
（
）
随着
的增大，点
无限接近点
，
横向路程之和无限接近
，纵向路程之和无限接近
，
所以
．
（3）方法一：设点
，则题意，
的坐标满足如下递推关系：
，且
，
（
）
其中
，
∴
，即
，
∴
是以
为首项，2为公差的等差数列，
∴
，
所以当
为偶数时，
，于是
，
又
，
∴当
为奇数时，
，
，
当为偶数时，
当为奇数时，
所以，当为偶数时，
当为奇数时，
所以，．
方法二：由题意知
，
，
，
，
，
，…
其中，，，
，…
，，，
…
观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为
，公比为4的等比数列，相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列，下标为偶数的点也有此规律，并由数学归纳法可以证明．
所以，当
为偶数时，
当为奇数时，
，
当为偶数时，
当为奇数时，
所以，．
【题目】网络购物已经被大多数人接受，随着时间的推移，网络购物的人越来越多，然而也有部分人对网络购物的质量和信誉产生怀疑。对此，某新闻媒体进行了调查，在所有参与调查的人中，持“支持”和“不支持”态度的人数如下表所示：
年龄 态度 | 支持 | 不支持 |
20岁以上50岁以下 | 800 | 200 |
50岁以 （含50岁） | 100 | 300 |
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取
个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了9人，求
的值；
（2）是否有99.9%的把握认为支持网络购物与年龄有关？
参考数据：
，其中
，
| 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
