Question

【题目】如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，当与的斜率存在且倾斜角互补时：

（1）求的值；

（2）若直线在轴上的截距时，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线过点，得．由，倾斜角互补可知，即，由，代入得；（2）利用点差法求得，设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程利用弦长公式和点到直线距离公式计算面积，利用导数求得面积的最大值为．

试题解析：

（1）由抛物线过点，得，

设直线的斜率为，直线的斜率为，

由，倾斜角互补可知，即，

由，代入得．

（2）设直线的斜率为，由，得，

由（1）得，将其代入上式得．

因此设直线的方程为，由，消去得，

由，得，这时，

，又点到直线的距离为，

所以，

令，则由，得或，

当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，

故的最大值为，故面积的最大值为．