Question

【题目】已知函数（，且）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先对求导,对分情况讨论,都得到在上是增函数, ，∴的解集为，的解集为，得出函数的单调区间；（2）由已知条件得出,转化成求函数的最值,分类讨论得出结果．

试题解析：解：（1）

∵当时，，在上是增函数，

当时，，在上也是增函数，

∴当或时，总有在上是增函数，

又，∴的解集为，的解集为，

故函数的单调增区间为，单调减区间为．

（2）∵存在，使得成立，

而当时，，

∴只要即可．

又∵，，的变化情况如下表所示：

		0
		0
	减函数	极小值	增函数

∴函数在上是减函数，在上是增函数，

∴当时，的最小值，

的最大值为和中的最大者．

∵，

令，

∵，∴在上是增函数．

而，故当时，，即；

当时，，即．

∴当时， ，即，

函数在上是增函数，解得；

当时，，即，

函数在上是减函数，解得．

综上所述，所求的取值范围为．