Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E是线段BD的中点，点F是线段PD上的动点．
（1）求证：CE⊥BF；
（2）若AB=2，PD=3，当三棱锥P-BCF的体积等于$\frac{4}{3}$时，试判断点F在边PD上的位置，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由底面正方形可得CE⊥BD，由PD⊥平面ABCD得PD⊥CE，故而CE⊥平面PBD，所以CE⊥BF；
（2）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BD，设PF=x，则V_P-BCF=$\frac{1}{3}{S}_{△BPF}•CE$=$\frac{4}{3}$，列方程解出PF．

解答 证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
∴PD⊥CE．
∵底面ABCD是正方形，点E是BD的中点，
∴CE⊥BD，又BD?平面PBD，PD?平面PBD，BD∩PD=D，
∴CE⊥平面PBD，∵BF?平面PCD，
∴CE⊥BF． 
（2）解：点F为边PD上靠近D点的三等分点．
说明如下：由（Ⅱ）可知，CE⊥平面PBF．
∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PD⊥BD．
设PF=x． 由AB=2得BD=2$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
∴V_P-BCF=V_C-BPF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BD×PF×CE$=$\frac{1}{6}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}x$=$\frac{4}{3}$．
解得x=2．∵PD=3，
∴点F为边PD上靠近D点的三等分点．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．