在平面直角坐标系xOy中.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左顶点为A.右焦点为F.P.Q为椭圆C上两点.圆O:x2+y2=r2．(1)若PF⊥x轴.且满足直线AP与圆O相切.求圆O的方程,(2)若圆O的半径为$\sqrt{3}$.点P.Q满足kOP•kOQ=-$\frac{3}{4}$.求直线PQ被圆O截得弦长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x²+y²=r²（r＞0）．
（1）若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；
（2）若圆O的半径为$\sqrt{3}$，点P，Q满足k_OP•k_OQ=-$\frac{3}{4}$，求直线PQ被圆O截得弦长的最大值．

分析（1）由题意方程求出P的坐标，得到直线PA的方程，由点到直线的距离公式求出圆的半径，则圆的方程可求；
（2）由已知求得圆的方程，当PQ⊥x轴时，由k_OP•k_OQ=-$\frac{3}{4}$求出OP的斜率，可得P的坐标，由对称性得到Q的坐标，则直线PQ被圆O截得弦长可求；当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=kx+b，由k_OP•k_OQ=-$\frac{3}{4}$，得到P，Q横坐标的和与积的关系，联立直线方程和椭圆方程可得k与b的关系，再由垂径定理求得弦长最大值，综合两种情况求得直线PQ被圆O截得弦长的最大值．

解答解：（1）∵椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴A（-2，0），F（1，0），
∵PF⊥x轴，
∴P（1，$±\frac{3}{2}$），而直线AP与圆O相切，
根据对称性，可取P（1，$\frac{3}{2}$），
则直线AP的方程为y=$\frac{1}{2}（x+2）$，
即x-2y+2=0．
由圆O与直线AP相切，得r=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴圆O的方程为${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$；
（2）由题意知，圆O的方程为x²+y²=3．
①当PQ⊥x轴时，${k}_{OP}•{k}_{OQ}=-{{k}_{OP}}^{2}=-\frac{3}{4}$，
∴${k}_{OP}=±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
不妨设OP：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
此时得直线PQ被圆O截得的弦长为$\frac{\sqrt{570}}{15}$；
②当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=kx+b，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁x₂≠0），
首先由${k}_{OP}•{k}_{OQ}=-\frac{3}{4}$，得3x₁x+4y₁y₂=0，
即3x₁x₂+4（kx₁+b）（kx₂+b）=0，
$（3+4{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+4kb（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{b}^{2}=0$（*）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
将${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{b}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$代入（*）式，得2b²=4k²+3．
由于圆心O到直线PQ的距离为$d=\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴直线PQ被圆O截得的弦长为$l=2\sqrt{3-{d}^{2}}=\sqrt{4+\frac{2}{{k}^{2}+1}}$，
故当k=0时，l有最大值为$\sqrt{6}$．
综上，直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为$\sqrt{6}$．