Question

如下图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，四面体P-BCG的体积为.

（1）求点D到平面PBG的距离；

（2）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.

Answer 1

解析：（1）V_P-BCG=·PG·BG·GC=,

即PG·2×2=8PG=4.

V_D-PBG=V_P-BDG=S_△ABD·PG·=23V_P-BCG=，

即h·BG·PG=，∴h=.

即点D到平面PBG的距离为.

（2）以GB，GC，GP为x,y,z轴建系，

则G（0，0，0）、B（2，0，0）、C（0，2，0），

D（-,,0）,P(0,0,4),

设=λ，则F(0,).

∴=(),=(0,2,0).

由DF⊥GC得·=2()=0,

∴λ=2，即=2.