Question

(2007成都模拟)如下图，已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且，PM=MD．

(1)求证：PC⊥AM；

(2)求证：PC⊥平面AMN；

(3)求二面角B—AN—M的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)因为四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，故建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，又PA=AD=2，则有P(0，0，2)，D(0，2，0)，M(0，1，1)，C(2，2，0)． ∴=(2，2，－2)，=(0，1，1)． ∵，∴PC⊥AM． (2)设N(x，y，z)，∵，则有，∴．同理可得，．即． 由， ∴PC⊥AN．又∵PC⊥AM，AM∩AN=A， ∴PC⊥平面AMN． (3)连接BN，设平面BAN的法向量为n=(x，y，z)， 由 取n=(0，－2，1)． =(2，2，－2)为平面AMN的法向量， ∴． 结合图形可知，所求二面角B－AN－M的大小为．