Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求AN长的取值范围；
（Ⅱ）若AN∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出矩形的长与宽，求得矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得AN的取值范围；
（Ⅱ）求导数，确定函数y=

3x2

x-2

在[3，4）上为单调递减函数，即可求得面积的最大值．

解答： 解：设AN的长为x米（x＞2）
由于

DN

AN

=

DC

AM

，则AM=

3x

x-2

  
故S_AMPN=AN•AM=

3x2

x-2

 …（3分）
（Ⅰ）由花坛AMPN的面积大于32平方米，得

3x2

x-2

＞32，∴2＜x＜

8

3

或x＞8，即AN长的取值范围是（2，

8

3

）∪（8，+∞）．…（6分）

（Ⅱ）令y=

3x2

x-2

，则y′=

3x(3-4)

(x-2)2

因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数y=

3x2

x-2

在[3，4）上为单调递减函数，…（9分）
从而当x=3时y=

3x2

x-2

取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN=3米，AM=9米   …（12分）

点评：本题考查根据题设关系列出函数关系式，考查利用导数求最值，解题的关键是确定矩形的面积．