Question

11．若用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的图象，其五点如下表：

x	$\frac{π}{2}$	2π	$\frac{7π}{2}$	5π	$\frac{13π}{2}$
y	0	2	0	-2	0

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=Acos（ωx+φ），若关于x的方程g（x）+λ=0在[π，7π]内恰有两个不同的解α，β，求实数λ的取值范围，并求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由最值求出A的值，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）根据余弦函数的图象求出λ的取值范围，利用反三角函数求出α、β的值，即可求α+β．

解答 解：（1）由题意可得：A=2，周期T=$\frac{13π}{2}$-$\frac{π}{2}$=6π，解得：ω=$\frac{2π}{6π}$=$\frac{1}{3}$，
又点（$\frac{π}{2}$，0）在函数图象上，可得：$\frac{1}{3}×\frac{π}{2}$+φ=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由-π＜φ＜π，可得：φ=-$\frac{π}{6}$，
解得函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$）．
（2）由题意可得：A=2，周期T=$\frac{13π}{2}$-$\frac{π}{2}$=6π，解得：ω=$\frac{2π}{6π}$=$\frac{1}{3}$，
又点（$\frac{π}{2}$，0）在函数图象上，可得：$\frac{1}{3}×\frac{π}{2}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由-π＜φ＜π，可得：φ=$\frac{π}{3}$，
解得：g（x）=2cos（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$）．
∵关于x的方程g（x）+λ=0在[π，7π]内恰有两个不同的解α，β，
由题意可得：2cos（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=-λ，
∵x∈[π，7π]，
∴$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{8π}{3}$]，
∴2cos（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，2]，
∴λ∈[-2，2]．
又∵cos（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{λ}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$=π+arccos$\frac{λ}{2}$，或π-arccos$\frac{λ}{2}$；
即α=2π+3arccos$\frac{λ}{2}$，β=2π-3arccos$\frac{λ}{2}$；
∴α+β=4π．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了由三角函数的值求角的问题，是中档题．