Question

已知数列的前项和，满足：.
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）若数列的满足，为数列的前项和，求证：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）求数列的通项,由已知,而与的关系为,代入整理得,可构造等比数列求通项公式；（Ⅱ）由,可求出,从而得,显然是一个等差数列与一个等比数列对应项积组成的数列,可用错位相减法求数列的和,可证.
试题解析：（Ⅰ）解：当时,,则当时,
两式相减得，即,∴,∴，当时，，则,∴是以为首项,2为公比的等比数列,
∴,∴；
（Ⅱ）证明:,∴, 则,  ,两式相减得,,当时,, ∴为递增数列,∴求数列的通项公式, 2、错位相减法求数列的和.