Question

知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项和为.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求证:;
（Ⅲ）求数列的前项和.

Answer 1

(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析；（Ⅲ）．

试题分析：(Ⅰ)求等差数列的通项公式，只需求出即可，因为是方程的两根,且数列的公差,这样可求出，从而可得数列的通项公式，又因为数列的前项和为，，可利用得到递推关系，，得出 ，数列是等比数列，根据等比数列的通项公式写出；(Ⅱ)记,求证:，首先写出数列的通项公式，， 要证明，可用作差比较法，只需证即可；（Ⅲ）求数列的前项和，由的通项公式可知，它是由一个等差数列，与一个等比数列对应项积所组成的数列，符合利用错位相减法求数列的和，故本题用错位相减法来求．
试题解析：(Ⅰ)因为是方程的两根,且数列的公差,所以
公差                                         1分
所以.                                2分
又当时,有,所以.         
当时,有,所以.      3分
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以.                                    4分
(Ⅱ)由(1)知,                      5分      
所以,                  7分 
所以.                                              8分 
（Ⅲ）因为,                                 9分 
则,①                      
,②                  10分 
由①-②,得
,                       11分 
整理,得.                                          12分