Question

（12分）如图所示，椭圆C： 的离心率，左焦点为右焦点为，短轴两个端点为．与轴不垂直的直线与椭圆C交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且．

（1）求椭圆 的方程；
（2）求证直线 与轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦 的中点落在内（包括边界）时，求直线的斜率的取值。

Answer 1

（1）．（2）直线 与轴相交于定点（0，2）；（3）。

试题分析：（1）由题意可知：椭圆C的离心率，

故椭圆C的方程为．…………………………………………………2分
（2）设直线的方程为，M、N坐标分别为
由得
∴…………………………………………………4分
∵．
∴
将韦达定理代入，并整理得，解得．
∴直线 与轴相交于定点（0，2）………………………………………………7分
（3）由（2）中，其判别式，得．①
设弦AB的中点P坐标为，则，
弦 的中点落在内（包括边界）

将坐标代入，整理得 
解得 ②由①②得所求范围为……………………………………12分
点评：求椭圆的标准方程是解析几何的基本问题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，常常运用韦达定理，本题属于中档题。