Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使△APB内切圆圆心的纵坐标为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）由椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．可得△MB₁B₂是等腰直角三角形，可得b，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，a²=b²+c²，解出即可得出．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．与椭圆方程联立化为（4m²+9）y²+16my-20=0．若△APB的内切圆圆心纵坐标为定值，则该定值必为0，即PM平分∠APB，因此直线PA，PB的倾斜角互补，可得k_PA+k_PB=0．把斜率及其根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（I）∵椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
∴△MB₁B₂是等腰直角三角形，∴b=2，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，a²=b²+c²，解得a=3，c²=5．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为（4m²+9）y²+16my-20=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-16m}{4{m}^{2}+9}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-20}{4{m}^{2}+9}$．
若△APB的内切圆圆心纵坐标为定值，则该定值必为0，即PM平分∠APB，
∴直线PA，PB的倾斜角互补，
∴k_PA+k_PB=0．
设P（t，0），则$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，
将x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（2-t）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（m{y}_{1}+2-t）（m{y}_{2}+2-t）}$=0，
∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0．
将 ${y_1}+{y_2}=\frac{-16m}{{4{m^2}+9}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-20}{{4{m^2}+9}}$代入上式，
整理得 （-2t+9）•m=0．
由于上式对任意实数m都成立，∴t=$\frac{9}{2}$．
综上，存在定点$P（\frac{9}{2}，0）$，使PM平分∠APB．即△APB的内切圆圆心纵坐标为定值0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、三角形内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．