Question

4．（1）求函数f（x）=ln（$\sqrt{3}$-2cosx）的定义域；
（2）求函数f（x）=2cos²x+3sinx-5的值域．

Answer 1

分析 （1）要使函数有意义，则需$\sqrt{3}$-2cosx＞0，由余弦函数的图象和性质，即可得到定义域．
（2）换元sinx=t，则函数化成y=2（1-t²）+3t-5=-2（t-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{15}{8}$，其中t∈[-1，1]．然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数f（x）=2cos²x+3sinx-5的值域．

解答 解：（1）要使函数有意义，则需$\sqrt{3}$-2cosx＞0，即有cosx＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则有2kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜2kππ+$\frac{11}{6}$π，k∈Z
则定义域为（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kππ+$\frac{11}{6}$π），k∈Z；
（2）设sinx=t，则cos²x=1-t²，
∴y=2cos²x+3sinx-5=2（1-t²）+3t-5=-2（t-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{15}{8}$，
∵t=sinx∈[-1，1]，
∴当t=$\frac{3}{4}$时，y_max=-$\frac{15}{8}$；当t=-1时，y_min=-8，
因此，函数y=cos²x-2sinx的值域是[-8，-$\frac{15}{8}$]．

点评 本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数大于0，考查余弦函数的图象和性质，考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．