Question

7．椭圆$\frac{x^2}{100}$+$\frac{y^2}{64}$=1的两焦点为F₁，F₂，P是椭圆上一点，满足∠F₁PF₂=60°，则三角形F₁PF₂的面积$\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 依题意，在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，|F₁P|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=12，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，从而可求得△PF₁F₂的面积．

解答 解：∵椭圆的方程为$\frac{x^2}{100}$+$\frac{y^2}{64}$=1，
∴a=10，b=8，c=6．
又∵P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂为左、右焦点，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=12，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P|•|PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=400-3|F₁P|•|PF₂|=144，
∴|F₁P|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，
∴S△PF₁F₂=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|sin60°
=$\frac{1}{2}$×$\frac{256}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义和方程、简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．