Question

5．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，
①求a、b的值；
②解不等式f（x）＞4．
（2）若a=1，c=0，且-1≤f（x）≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

分析 分离参数b，利用函数的单调性求出最值，最终求出b的范围．

解答 解：（1）①$-\frac{b}{2a}=-1，\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=0$
∴$；c=1，\\;a=1，b=2$a=1，b=2，
②∵（x+1）²＞4，
∴x＞1或x＜-3．
（2）由题意知，函数f（x）=x²+bx，-1≤x²+bx≤1在区间（0，1]上恒成
即 b≤$\frac{1}{x}-x$且     $b≥-\frac{1}{x}-x$在（0，1]上恒成立．
根据单调性可得：$；y=\frac{1}{x}-x$ 的最小值为0，$；y=-\frac{1}{x}-x$ 的最大值为-2．
∴-2≤b≤0，
故b的取值范围为[-2，0]．

点评 本题主要考查求函数的解析式，二次函数的性质应用，函数的恒成立问题，属于基础题．