Question

1．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，且AB=AA₁，∠A₁AB=∠A₁AD=60°
（1）求证：平面A₁BD⊥平面A₁AC；
（2）若BD=$\sqrt{2}$，A₁D=2，求二面角A₁-BD-B₁的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出△A₁AB和△A₁AD均为正三角形，A₁B=A₁D，设AC与BD的交点为O，推导出A₁O⊥BD，AC⊥BD，由此能证明平面A₁BD⊥平面A₁AC．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-B₁的大小．

解答 证明：（1）∵AA₁=AB=AD，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，
∴△A₁AB和△A₁AD均为正三角形，∴A₁B=A₁D，
设AC与BD的交点为O，则A₁O⊥BD，
又ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵A₁O∩AC=O，∴BD⊥平面A₁AC，
∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面A₁AC．
解：（2）∵A₁B=A₁D，BD=$\sqrt{2}{A}_{1}D$=2，∴A₁B⊥A₁D，
∵A₁D=AD，A₁B=AB，BD=BD，
∴△A₁BD≌△ABD，∴∠BAD=90°，
∴AO=AO₁=$\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}A{A}_{1}$，∴A₁O⊥AO，
∵A₁O⊥BD，AO∩BD=O，
∴A₁O⊥底面ABCD，
如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），A₁（0，0，1），
$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（0，2，0），
设平面B₁BD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
平面A₁BD的一个法向量为$\overrightarrow{CA}$=（2，0，0），
设二面角A₁-BD-B₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°，
∴二面角A₁-BD-B₁的大小为45°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．