Question

（12分）如图，菱形的边长为4，，．将菱形沿

对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（1）求证：OM∥平面ABD；

（2）求证：平面DOM⊥平面ABC

（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．

又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD．

（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．

在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．

∵O为BD的中点，∴DO=，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=，AB=2．

因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，

∴OD⊥平面ABC． ∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．

（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高．

由OD=2，，

所以．

考点：本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，求三棱锥的体积