Question

若函数f（x）满足对于任意x∈[n，m]（n＜m）有

n

k

≤f(x)≤km恒成立，则称函数f（x）在区间[n，m]上是“被k限制”的，若函数f（x）=x²-ax+a²在区间[

1

a

，a]（a＞0）上是“被2限制”的，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，

  2

  ]
• B、（1，

  3 2

  ]
• C、（1，2]
• D、[

  3	2 3

  ，

  2

  ]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据“被k限制”的定义，可以构造出关于x的不等式（组）恒成立，然后借助于二次函数的性质构造出a的不等式求解．

解答： 解：由题意可得当x∈[

1

a

，a]时，

1

2a

≤x²-ax+a²≤2a恒成立，且由已知得a＞

1

a

，解得a＞1，
令f（x）=x²-ax+a²=（x-

a

2

）²+

3

4

a2，显然对称轴x=

a

2

∈[

1

a

，a]，
所以f(x)min=f(

a

2

)=

3

4

a2，f（x）max=max{f（

1

a

），f（a）}．又因为f(

1

a

)=a2+

1

a2

-1，f（a）=a²，结合a＞1，所以f（a）＞f(

1

a

)．
所以要使原式成立恒成立，只需

3 4 a2≥ 1 2a a2≤2a

，解得

3	2 3

≤a≤2，又因为a＞1，所以1＜a≤2为所求．
故选C．

点评：本题考查了新定义问题的解题思路，关键是正确理解新定义，将问题转化为两个不等式恒成立问题来解，从而将问题转化为函数的最值问题求解．