Question

4．在等比数列{a_n}中a_n∈R，且a₃，a₁₁是方程3x²-25x+27=0的两根，则a₇=3．

Answer 1

分析 由韦达定理得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}+{a}_{11}=\frac{25}{3}}\\{{a}_{3}•{a}_{11}=9}\end{array}\right.$，从而a₃＞0，a₁₁＞0，由等比数列的性质得${{a}_{7}}^{2}={a}_{3}{a}_{11}=9$，由此能求出结果．

解答 解：∵等比数列{a_n}中a_n∈R，且a₃，a₁₁是方程3x²-25x+27=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}+{a}_{11}=\frac{25}{3}}\\{{a}_{3}•{a}_{11}=9}\end{array}\right.$，
∴a₃＞0，a₁₁＞0，且${{a}_{7}}^{2}={a}_{3}{a}_{11}=9$，
∴a₇=3．
故答案为：3．

点评 本题考查等比数列的第7项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列性质及韦达定理的合理运用．