Question

已知点F(1,0)，⊙F与直线4x＋3y＋1＝0相切，动圆M与⊙F及y轴都相切．

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向⊙F各引一条切线，切点分别为P，Q，记α＝∠PAF，β＝∠QBF，求证sinα＋sinβ是定值．

Answer 1

 (1)⊙F的半径为＝1，⊙F的方程为(x－1)²＋y²＝1.

由题意动圆M与⊙F及y轴都相切，分以下情况：

①动圆M与⊙F及y轴都相切，但切点不是原点的情况．

作MH⊥y轴于H，则|MF|－1＝|MH|，即|MF|＝|MH|＋1，则|MF|＝|MN|(N是过M作直线x＝－1的垂线的垂足)，则点M的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线．

∴点M的轨迹C的方程为y²＝4x(x≠0)．

②动圆M与⊙F及y轴都相切且切于原点的情况．

此时点M的轨迹C的方程为y＝0(x≠0,1)．

(2)由于直线l过点F与C交于A、B两点，且F不尽在C上，∴l只能与y²＝4x(x≠0)交于两点．

当l不与x轴垂直时，直线l的方程为y＝k(x－1)，

当l与x轴垂直时，也可得sinα＋sinβ＝1.

综上，有sinα＋sinβ＝1.