Question

19．已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，$3{a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，则$\frac{{{a_{11}}+{a_{13}}}}{{{a_8}+{a_{10}}}}$=（　　）

• A． 27
• B． -1或27
• C． 3
• D． -1或3

Answer 1

分析 设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0，由$3{a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，可得$2×\frac{1}{2}{a}_{3}$=3a₁+2a₂，化为：${a}_{1}{q}^{2}$=3a₁+2a₁q，解得q．利用$\frac{{{a_{11}}+{a_{13}}}}{{{a_8}+{a_{10}}}}$=$\frac{{q}^{3}（{a}_{8}+{a}_{10}）}{{a}_{8}+{a}_{10}}$，即可得出．

解答 解：设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵$3{a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，
∴$2×\frac{1}{2}{a}_{3}$=3a₁+2a₂，化为：${a}_{1}{q}^{2}$=3a₁+2a₁q，即q²-2q-3=0，解得q=3．
则$\frac{{{a_{11}}+{a_{13}}}}{{{a_8}+{a_{10}}}}$=$\frac{{q}^{3}（{a}_{8}+{a}_{10}）}{{a}_{8}+{a}_{10}}$=3³=27．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．