Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+$\frac{1}{2}$c=a．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得cosB=$\frac{1}{2}$，可得B=$\frac{π}{3}$．
（2）由条件利用余弦定理求得ac=1，可得△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac•sinB 的值．

解答 解：（1）△ABC中，由已知bcosC+$\frac{1}{2}$c=a，利用正弦定理可得sinBcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinA，
即sinBcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由b=$\sqrt{13}$，a+c=4，利用余弦定理可得b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac，
解得 ac=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式、余弦定理的应用，属于基础题．