Question

18．已知在△ABC中，a=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，B=A+$\frac{π}{2}$．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系公式和诱导公式，求出A，B两角的正弦值，进而根据正弦定理得到b的值；
（2）由（1）求出C的正弦值，代入三角形面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC，可得答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，a=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，B=A+$\frac{π}{2}$．
∴A为锐角，B为钝角，
∴sinA=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinB=sin（A+$\frac{π}{2}$）=cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由正弦定理得：b=$\frac{sinB•a}{sinA}$=3$\sqrt{2}$，
（2）由（1）得：cosB=cos（A+$\frac{π}{2}$）=-sinA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{1}{3}$，
故△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查的知识点是三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系公式和诱导公式，正弦定理，难度中档．