Question

已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=λf（ax）-f（2ax）．
（1）若函数g（x）在区间[0，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；
（2）对任意x∈[0，1]，g（x）≤2恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由条件f（a+2）=18建立关于a的等量关系，求出a，将a代入得g（x）=λ•2^x-4^x，g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，可利用函数单调性的定义建立恒等关系，分离出λ，求出2^x₂+2^x₁的最值即可；
（2）运用参数分离，任意x∈[0，1]，g（x）≤2恒成立即为即有λ≤

2+4x

2x

在x∈[0，1]恒成立．令t=

2+4x

2x

=2^x+

2

2x

（0≤x≤1），运用基本不等式求出最小值，注意检验等号成立的条件，只要令λ不大于最小值即可．

解答： 解：（1）由已知得3^a+2=18⇒3^a=2⇒a=log₃2，
此时g（x）=λ•2^x-4^x
设0≤x₁＜x₂≤1，因为g（x）在区间[0，1]上是单调减函数，
所以g（x₁）-g（x₂）=（2^x₂-2^x₁）（-λ+2^x₂+2^x₁）≥0成立，
∵2^x₂-2^x₁＞0
∴λ≤2^x₂+2^x₁恒成立，由于2^x₂+2^x₁≥2⁰+2⁰=2，
所以实数λ的取值范围是λ≤2；
（2）任意x∈[0，1]，g（x）≤2恒成立即为
λ•2^x-4^x≤2在x∈[0，1]恒成立，
即有λ≤

2+4x

2x

在x∈[0，1]恒成立．
令t=

2+4x

2x

=2^x+

2

2x

（0≤x≤1），
由于2^x∈[1，2]，
则2^x+

2

2x

≥2

2x• 2 2x

=2

2

，
当且仅当2^x=

2

，即有x=

1

2

时，取得最小值2

2

．
即有λ≤2

2

．
则实数λ的取值范围是（-∞，2

2

]．

点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查函数恒成立问题转化为求函数的最值问题，以及基本不等式的运用，属于中档题．