Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，离心率为. 点为圆上任意一点， 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；

（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切， 与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由焦点及离心率求解方程组即可；

（Ⅱ）由，设，利用进行求解即可；

（Ⅲ）先讨论PA直线斜率不存在和为0时的特殊情况，得相切的结论，再计算一般情况，设点，直线的斜率为，则，直线： ，进而得直线与椭圆联立，通过计算判别式即可证得.

试题解析：

（Ⅰ）由题意，知， ，

所以， ，

所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）由题意，得.

设，则.

所以，

因为，

所以当时， ；当时， .

所以.

（Ⅲ）结论：直线与椭圆相切.

证明：由题意，点在圆上，且线段为圆的直径，

所以.

当直线轴时，易得直线的方程为，

由题意，得直线的方程为，

显然直线与椭圆相切.

同理当直线轴时，直线也与椭圆相切.

当直线与轴既不平行也不垂直时，

设点，直线的斜率为，则，直线的斜率，

所以直线： ，直线： ，

由 消去，

得.

因为直线与椭圆相切，

所以，

整理，得. （1）

同理，由直线与椭圆的方程联立，

得. （2）

因为点为圆上任意一点，

所以，即.

代入（1）式，得，

代入（2）式，得

.

所以此时直线与椭圆相切.

综上，直线与椭圆相切.