Question

【题目】已知斜三棱柱的底面是直角三角形，,侧棱与底面成锐角，点在底面上的射影落在边上．

(Ⅰ) 求证：平面；

（Ⅱ) 当为何值时，，且为的中点？

(Ⅲ) 当，且为的中点时，若，四棱锥的体积为，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）；(Ⅲ).

【解析】

(1)根据射影得线面垂直，即得线线垂直，再通过线面垂直判定定理得结论，(2)由 结合，得, 即得是菱形，再根据直角三角形解得 ，(3)先根据条件确定是二面角的平面角，再根据体积得，最后根据解三角形得二面角大小.

(Ⅰ)因为点在底面上的射影落在边上,所以,

所以,所以

（Ⅱ)因为，要使，只要,又是平行四边形，所以只要是菱形；

因为，当是等边三角形时为的中点，因为,所以侧棱与底面成锐角为，从而当为时，，且为的中点.

(Ⅲ)如图，取中点，连接,是等边三角形，所以,由得,,所以是二面角的平面角。 四棱锥的体积

=，所以,在直角三角形中易得，即二面角的大小为.