Question

7．已知直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），曲线C₁的极坐标方程为：ρ=1．
（1）写出曲线C₁的直角坐标方程及其参数方程；
（2）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标压缩为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标互化的方法，可得曲线C₁的直角坐标方程，从而可得参数方程；
（2）点P的坐标是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，从而点P 到直线?的距离是$d=\frac{{|\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\sqrt{3}|}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}[\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+2]$，即可求它到直线l的距离的最小值．

解答 解：（1）C₁的普通方程为：x²+y²=1．
C₁的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．
（2）C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosθ}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．故点P的坐标是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，
从而点P 到直线?的距离是$d=\frac{{|\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\sqrt{3}|}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}[\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+2]$
由此当$sin（θ-\frac{π}{4}）=-1$时，d取得最小值，且最小值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}（\sqrt{2}-1）$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标互化，考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．