Question

（1）求函数y=(

1

2

)x2-2x+2（0≤x≤3）的值域．
（2）设0≤x≤2，y=4x-

1

2

-3•2^x+5，试求该函数的最值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=x²-2x+2，则y=(

1

2

)t．根据x的范围，求得t的范围，可得函数y=(

1

2

)t 的范围．
（2）令k=2^x（0≤x≤2），可得1≤k≤4，y=

1

2

（k-3）²+

1

2

，再利用二次函数的性质求得它的最值．

解答： 解：（1）令t=x²-2x+2，则y=(

1

2

)t．
又t=x²-2x+2=（x-1）²+1，0≤x≤3，∴当x=1时，t_min=1；当x=3时，t_max=5．
故1≤t≤5，∴(

1

2

)5≤y≤(

1

2

)1，
故所求函数的值域为[

1

32

，

1

2

]．
（2）令k=2^x（0≤x≤2），∴1≤k≤4．则 y=2^2x-1-3•2^x+5=

1

2

k²-3k+5．
又y=

1

2

（k-3）²+

1

2

，k∈[1，4]，
∴y=

1

2

（k-3）²+

1

2

，在k∈[1，3]上是减函数，在k∈[3，4]上是增函数，
∴当k=3时，y_min=

1

2

；当k=1时，y_max=

5

2

．
即函数的最大值为

5

2

，最小值为

1

2

．

点评：本题主要考查指数函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．