Question

设关于正整数n的函数f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常数a，b，c使得f（n）=

n(n+1)

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(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²，
∴f（1）=1•2²=4，
f（2）=1•2²+2•3²=22，
f（3）1•2²+2•3²+3•4²=70；
（2）假设存在常数a，b，c使得f（n）=

n(n+1)

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(an2+bn+c)对一切自然数n都成立，
则f（1）=

1×2

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（a+b+c）=4，
∴a+b+c=24①，
同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，
由f（3）=70得9a+3b+c=70③
联立①②③，解得a=3，b=11，c=10．
∴f（n）=

n(n+1)

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（3n²+11n+10）．
证明：1°当n=1时，显然成立；
2°假设n=k时，f（k）=

k(k+1)

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（3k²+11k+10）=

k(k+1)(k+2)(3k+5)

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，
则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+（k+1）[（k+1）+1]²
=

k(k+1)(k+2)(3k+5)

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+（k+1）[（k+1）+1]²
=

(k+1)(k+2)

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（3k²+17k+24）
=

(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8)

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=

(k+1)[(k+1)+1][(k+2)+1][3(k+1)+5]

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，
即n=k+1时，结论也成立．
综合1°，2°知，存在常数a=3，b=11，c=10使得f（n）=

n(n+1)

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（3n²+11n+10）对一切自然数n都成立．