Question

9．不等式2x²-a$\sqrt{{x}^{2}+1}$+3＞0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，23）．

Answer 1

分析 需要分类讨论，当a≤0时对x∈R恒成立，当a＞0时，巧设换元，分离参数，得到a+1＜4t+$\frac{9}{t}$+12，根据基本不等式即可求出a的范围

解答 解：∵2x²-a$\sqrt{{x}^{2}+1}$+3＞0对x∈R恒成立，
∴2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
当a≤0时，显然恒成立，
当a＞0时，2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，可化为（2x²+3）²＞ax²+a，
即为4x⁴+（12-a）x²+9-a＞0恒成立
设x²=t，
即为4t²+（12-a）t+9-a＞0对于t≥0恒成立，即（1+a）t＜4t²+12t+9
当t=0时，9-a＞0，即0＜a＜9，
当t＞0
∴a+1＜4t+$\frac{9}{t}$+12≥2$\sqrt{4t•\frac{9}{t}}$+12=24在（0，+∞）恒成立，当且仅当t=$\frac{3}{2}$时取等号，
∴0＜a＜23，
综上所述a的取值范围（-∞，23），
故答案为：（-∞，23）

点评 本题考查一元二次不等式的应用，考查了数学转化思想，解答此题的关键是更换主元，利用基本不等式求出最值，此题是中档题．