Question

5．已知函数f（x）的定义域为[0，π]，且满足cosxf′（x）＞sinxf（x），则下列结论正确的是（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{3}$）
• B． f（$\frac{π}{4}$）＞-f（$\frac{3π}{4}$）
• C． f（1）f（2）＞0
• D． f（2）f（3）＜0

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x），求函数的导数，利用函数的单调性即得到结论．

解答 解：由cosxf′（x）＞sinxf（x），x∈[0，π]，
得：f′（x）cosx-f（x）sinx＞0，
令g（x）=cosxf（x），x∈[0，π]，
则g′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx＞0，
所以函数g（x）在x∈[0，π]上为增函数，
则g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（1）＜g（$\frac{π}{3}$）＜g（2）＜g（$\frac{3π}{4}$）＜g（3），
则cos（$\frac{π}{6}$）f（$\frac{π}{6}$）＜cos（$\frac{π}{4}$）f（$\frac{π}{4}$）＜cos（1）f（1）＜cos（$\frac{π}{3}$）f（$\frac{π}{3}$）＜cos2f（2）＜cos$\frac{3π}{4}$f（$\frac{3π}{4}$）＜cos3f（3），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜2cos1f（1）＜f（$\frac{π}{3}$）＜2cos2f（2）＜-$\sqrt{2}$f（$\frac{3π}{4}$）＜2cos3f（3），
故D正确，A，B，C错误，
故选：D．

点评 本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．