Question

3．定义在[-1，1]上的奇函数f（x）有最小正周期2，当0＜x＜1时，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$．
（1）讨论f（x）在（0，1）上的单调性；
（2）求f（x）在[-1，1]的表达式；
（3）函数y=f（x）-a有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当0＜x＜1时，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$=$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$，利用y=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在（1，2）上单调递增，即可得出f（x）在（0，1）上的单调性；
（2）利用奇函数的性质，求f（x）在[-1，1]的表达式；
（3）函数y=f（x）-a有零点，根据函数的值域，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当0＜x＜1时，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$=$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$，
∵y=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在（1，2）上单调递增，
∴f（x）在（0，1）上的单调递减；
（2）$当-1＜x＜0时，f（x）=-f（{-x}）=-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，
f（0）=0，f（-1）=-f（1），f（-1）=f（-1+2）=f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{2^x}{{{4^x}+1}}，0＜x＜1\\ 0，x=0或x=±1\\-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}，-1＜x＜0\end{array}\right.$
（3）$f（x）在（{0，1}）上递减，取值范围为（{\frac{2}{5}，\frac{1}{2}}），f（x）在（{-1，0}）上递减$，取值$范围为（{-\frac{1}{2}，-\frac{2}{5}}）$，
f（0）=f（1）=f（-1）=0，$故a的范围为（{\frac{2}{5}，\frac{1}{2}}）∪\left\{0\right\}∪（{-\frac{1}{2}，-\frac{2}{5}}）$．

点评 本题考查奇偶性及函数单调性，考查函数解析式求解，综合性较强．