Question

8．已知α、β是两个平面，m，n是α、β外的两条直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个为条件，余下的一个为结论，能组成正确命题的个数为2．

Answer 1

分析 构造长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，然后以四个论断中的其中三个为条件，推导第4个，借助于长方体中的线与面进行合理构造，然后进行合理推理，得出正确结论．

解答 解：如图，做出长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，下面判断一下四个命题：
（1）①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β⇒④m⊥α．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，令面ADD₁A₁为α，面ABCD为β，直线CC₁为n，A₁C₁为m，显然m不与α垂直，所以此命题是假命题；
（2）①m⊥n；②α⊥β；④m⊥α⇒③n⊥β．此命题和上一命题是一样的，所以也是假命题；
（3）①m⊥n；③n⊥β；④m⊥α⇒②α⊥β．由已知，$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$分别是面α，β的法向量，因为m⊥n，所以$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，所以α⊥β，所以此命题是真命题；也可以利用长方体进行直观判断；
（4）②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α⇒①m⊥n．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，令面ADD₁A₁为α，面ABCD为β，直线D₁C₁为m，CC₁为n，则m⊥n．所以此命题为真命题．
故正确命题有两个．
故答案为：2．

点评 长方体是判断有关空间线、面之间垂直关系的重要载体，特别是在选择题中，主要是根据已知与结论，合理选择线与面，然后做出正确的判断．